Логические и арифметические основы и принципы работы ЭВМ


Выбор системы счисления. - часть 2


В большинстве случаев неэкономических применений ЭВМ имеют дело с задачами, в которых общий объем исходных данных невелик, но общее число необходимых операций огромно. Именно для такого рода применений рассмотренная последовательность действий может оказаться выгодной.

Очевидно, что можно, не сужая области применения ЭВМ, задаться величиной некоторого самого большого числа. Пусть это будет число M. Воспользуемся позиционной системой счисления с основанием "p", и тогда потребуется "n" разрядов, чтобы представить все M чисел:

M = pn - 1 ( от 0 до pn - 1 )

M ? pn

logpM = n*logpp, где logpp = 1, тогда n = logpM.

Оборудование, которое нужно для хранения любого числа от 0 до M пропорционально произведению основания системы счисления на количество разрядов.

Таким образом, при заданном числе M количество цифроразрядов при основании "p":

p*n = p* logpM, (6.1)

где:

цифроразряд - эквивалент оборудования,

p*n - число устойчивых состояний элемента памяти,

n - число разрядов в числе.

Рассмотрим пример:

Пусть есть 24 цифроразряда.

Основание p.Возможное число цифроразрядов.Наибольшее число M.
22*12

1*1*...*12 = 409510

\________/ 12

33*8

2*2*...*23 = 656010

\________/ 8

44*6

3*3*...*34 = 409510

\________/ 6

66*4

5*5*5*56 = 129510

\______/ 4

88*3

7*7*78 = 51110

\____/ 3

Количество цифроразрядов говорит как о величине оборудования, так является характеристикой быстродействия. Как увидим позже, в позиционной системе счисления времена выполнения операций могут быть выражены через количество разрядов в числе.

Считаем "p" - величиной непрерывной. Находим производную от (6.1) по величине "p". Берем вторую производную по "p". Увидим, что первая производная обращается в нуль, а вторая - больше нуля при p = e. Т.е. получаем минимум при p = e.

Таким образом, оптимальной по оборудованию и быстродействию является система с основанием е.

Но е = 2,718...

Поэтому оптимальной является система с основанием р = 3.

Построим функцию, характеризующую отношение оборудования в системе с основанием "p" относительно системы с основанием "2".




Начало  Назад  Вперед